निश्चित समाकल int_{-1/2}^{1/2} (sin^{-1}(3x - | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} (\sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)) dx$.हम जानते हैं कि $x \in [-1/2, 1/2]$ के लिए $\sin^{-1}(3x - 4x^3) = 3

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$-\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{-1/2}^{1/2} (\sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)) dx$.हम जानते हैं कि $x \in [-1/2, 1/2]$ के लिए $\sin^{-1}(3x - 4x^3) = 3\sin^{-1}(x)$ होता है।साथ ही,$\cos^{-1}(4x^3 - 3x) = \cos^{-1}(-(3x - 4x^3)) = \pi - \cos^{-1}(3x - 4x^3)$।चूंकि $\sin^{-1}(	heta) + \cos^{-1}(	heta) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos^{-1}(3x - 4x^3) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(3x - 4x^3)$।इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\cos^{-1}(4x^3 - 3x) = \pi - (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(3x - 4x^3)) = \frac{\pi}{2} + \sin^{-1}(3x - 4x^3)$।अब,समाकल्य पद: $\sin^{-1}(3x - 4x^3) - (\frac{\pi}{2} + \sin^{-1}(3x - 4x^3)) = -\frac{\pi}{2}$ हो जाता है।अतः,$I = \int_{-1/2}^{1/2} -\frac{\pi}{2} dx = -\frac{\pi}{2} [x]_{-1/2}^{1/2} = -\frac{\pi}{2} (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})) = -\frac{\pi}{2} (1) = -\frac{\pi}{2}$।

निश्चित समाकल $\int_{-1/2}^{1/2} (\sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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